Расчет главных напряжений и эквивалентного напряжения для плоского напряженного состояния

В инженерной практике оценка прочности конструкций и элементов оборудования невозможна без анализа их напряжённого состояния. В реальных условиях нагружения материал, как правило, испытывает не одноосное, а сложное комбинированное воздействие, которое приводит к формированию плоского или объёмного напряжённого состояния. Для корректного описания таких случаев используются компоненты тензора напряжений, на основе которых определяются главные напряжения и эквивалентное напряжение.

Главные напряжения позволяют выявить максимальные и минимальные нормальные напряжения в рассматриваемой точке и определить наиболее опасные направления действия внутренних сил. Это особенно важно при анализе разрушения материалов, чувствительных к растяжению, а также при оценке вероятных направлений развития трещин.

Эквивалентное напряжение, в свою очередь, применяется для приведения сложного напряжённого состояния к условному одноосному эквиваленту. Такой подход позволяет выполнять проверку прочности по выбранному критерию текучести или разрушения (например, по критерию Мизеса), используя стандартные допускаемые значения для материала.

В плоском напряжённом состоянии тензор напряжений имеет вид: где σ x , σ y и τ xy – это три составляющие тензора напряжений на плоскости, МПа. Величины σ x , σ y и τ xy можно рассчитать из уравнений теории упругости по закону Гука, зная относительные деформации, измеренные с помощью розетки из трех тензорезисторов, наклеенных под углами 0°, 45° и 90°:

где E – модуль упругости материала, МПа; ν – коэффициент Пуассона; ε x , ε y и ε xy – относительные деформации, измеренные тензорезисторами, наклеенными под углами 0°, 90° и 45° соответственно.

Величину τ xy также можно представить в виде: где G – модуль сдвига, МПа; γ xy – сдвиговая деформация. Главные напряжения в плоскости xy находятся по формуле:

при этом σ 1 – наибольшее алгебраическое значение (с учетом знака), а σ 2 – наименьшее.

Эквивалентное напряжение вычисляется по формуле Мизеса через компоненты тензора:

либо через главные напряжения:

Данные формулы справедливы и корректны только для плоского напряженного состояния, а именно:

- нет изгиба (тензорезисторы на поверхности показывают то же, что и внутри)
- толщина образца много меньше его плоских размеров (как правило, h/L < 0.1 )
- измерения на свободной поверхности (на нее нет давления, т.е. составляющие σ z , τ xz и τ yz тензора равны 0)

В программном обеспечении ZETLAB расчет эквивалентного напряжения по измеренным относительным деформациям может быть выполнен в программе «Формула» .

Конфигурация программы может быть загружена в виде xml-файла со следующим содержимым:

<?xml version=»1.0″?>

<ZetFormula>

<Channel name=»E» unit=»МПа» formula=»200000″ max_level=»1000000″ min_level=»1″ reference=»9.99999997e-07″ sampling=»1″ x=»0″ y=»0″ z=»0″ />

<Channel name=»ν» unit=»раз» formula=»0.3″ max_level=»1″ min_level=»0.00100000005″ reference=»1″ sampling=»1″ x=»0″ y=»0″ z=»0″ />

<Channel name=»σx_1″ unit=»МПа» formula=»<E> / (1 — <ν> * <ν>) * (<εx_1> + <ν> * <εy_1> )» max_level=»1000000″ min_level=»1″ reference=»9.99999997e-07″ sampling=»1″ x=»0″ y=»0″ z=»0″ />

<Channel name=»σy_1″ unit=»МПа» formula=»<E> / (1 — <ν> * <ν>) * (<εy_1> + <ν> * <εx_1> )» max_level=»1000000″ min_level=»1″ reference=»9.99999997e-07″ sampling=»1″ x=»0″ y=»0″ z=»0″ />

<Channel name=»τxy_1″ unit=»МПа» formula=»<E> / (1 + <ν>) / 2 * ( 2 * <εxy_1> — <εx_1> — <εy_1> )» max_level=»1000000″ min_level=»1″ reference=»9.99999997e-07″ sampling=»1″ x=»0″ y=»0″ z=»0″ />

<Channel name=»σэкв_1″ unit=»МПа» formula=»sqrt( <σx_1> * <σx_1> + <σy_1> * <σy_1> — <σx_1> * <σy_1> + 3 * <τxy_1> * <τxy_1>)» max_level=»1000000″ min_level=»1″ reference=»9.99999997e-07″ sampling=»1″ x=»0″ y=»0″ z=»0″ />

</ ZetFormula >

Канал < E > – канал для задания модуля упругости;

Канал <ν> – канал для задания коэффициента Пуассона;

Канал <σx_1> – канал с результирующим значением составляющей тензора напряжений;

Канал <σy_1> – канал с результирующим значением составляющей тензора напряжений;

Канал <τxy_1> – канал с результирующим значением составляющей тензора напряжений;

Канал <σэкв_1> – канал с результирующим значением эквивалентного напряжения.

Определение главных и эквивалентного напряжений является ключевым этапом анализа прочности элементов конструкций при плоском напряжённом состоянии. Применение аппаратных и программных средств ZETLAB позволяет обеспечить корректное измерение исходных параметров и их последующую обработку, что повышает достоверность расчётов и упрощает переход от экспериментальных данных к инженерным оценкам прочности и надёжности.